Nuclei Riproducenti

La tesi si articola in quattro capitoli. Nel primo capitolo vengono esposti i concetti di base su cui è basata la teoria principale. Inizieremo ricordando le definizioni e i teoremi più rilevanti sugli spazi di Hilbert, sui sistemi ortonormali e sulle funzioni olomorfe per poi arrivare al prodotto Wedge, agli operatori bilineari e al prodotto tensoriale. Il secondo capitolo è destinato ai nuclei riproducenti. Vedremo dapprima la definizione e il Teorema di Aronszajn-Bergman che determina una condizione necessaria e sufficiente sugli spazi affinchè abbiano nucleo riproducente. Studieremo poi le proprietà degli spazi dotati di tale nucleo. Nel terzo capitolo viene illustrato il nucleo di Bergman. Partiremo cercando una stima dell'integrale sui polidischi di C^n di funzioni a quadrato integrabile per poi analizzare il sottospazio generato dalle funzioni olomorfe a quadrato integrabile. Vedremo poi che i risultati ottenuti integrando con la misura di Lebesgue su C^n valgono anche integrando con una misura con peso. Nel quarto ed ultimo capitolo arriveremo al punto saliente della trattazione. Determineremo il proiettore ortogonale dallo spazio delle funzioni a quadrato integrabile allo spazio delle funioni olomorfe a quadrato integrabile e, sotto certe condizioni, prenderemo una determinazione di logaritmo di queste ultime. Grazie alla determinazione di logaritmo costruiremo una forma differenziale hermitiana invariante rispetto agli automorfismi olomorfi dei domini di C^n . Infine, daremo delle ipotesi sotto le quali la forma hermitiana è definita positiva: arriveremo così a definire la metrica che ne deriva. Essa sarà la metrica di Bergman.