Assioma di scelta, forcing e misura di Lebesgue

L’elaborato nasce dall’interrogativo circa la correlazione tra esistenza di sottoinsiemi dei numeri reali non misurabili secondo Lebesgue e l’Assioma di scelta (AC). Una riposta in tal senso è fornita dal Teorema di Solovay, che, assumendo l’esistenza di un cardinale inaccessibile, individua un modello di ZF e del Principio delle scelte dipendenti, più debole di AC, in cui tutti i sottoinsiemi dei reali sono misurabili. Elemento cardine della dimostrazione di Solovay è la tecnica del forcing che permette di costruire un’estensione di un modello di una teoria a partire da un filtro generico definito su un ordine parziale. L’estensione ottenuta, presenta delle proprietà che possono essere controllate. Nello specifico, è utile poter intervenire sui cardinali, forzandoli ad avere determinate cardinalità. Dopo aver richiamato i principali risultati riguardanti la misura di Lebesgue, si mostra come sia possibile costruire l’insieme non misurabile di Vitali tramite AC. Si ripercorrono e sviluppano quindi i concetti e i metodi necessari a comprendere la linea dimostrativa del Teorema di Solovay: una volta introdotti nozioni e risultati di base riguardanti la teoria degli insiemi, si definisce l’insieme degli elementi ordinali definibili. Si entra nella trattazione generale della tecnica del forcing. Si definisce la specifica nozione di forcing adottata da Solovay, il Collasso di Levy. Si analizzano i legami tra teoria descrittiva degli insiemi e la misura di Lebesgue. Si delinea la dimostrazione del Teorema di Solovay evidenziando il ruolo giocato dal forcing.