Di Florio, Cecilia
(2020)
Assioma di scelta, forcing e misura di Lebesgue.
[Laurea magistrale], Università di Bologna, Corso di Studio in
Matematica [LM-DM270], Documento ad accesso riservato.
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Abstract
L’elaborato nasce dall’interrogativo circa la correlazione tra esistenza di sottoinsiemi dei numeri reali non misurabili secondo Lebesgue e l’Assioma di scelta (AC). Una riposta in tal senso è fornita dal Teorema di Solovay, che, assumendo l’esistenza di un cardinale inaccessibile, individua un modello di ZF e del Principio delle scelte dipendenti, più debole di AC, in cui tutti i sottoinsiemi dei reali sono misurabili.
Elemento cardine della dimostrazione di Solovay è la tecnica del forcing che permette di costruire un’estensione di un modello di una teoria a partire da un filtro generico definito su un ordine parziale. L’estensione ottenuta, presenta delle proprietà che possono essere controllate. Nello specifico, è utile poter intervenire sui cardinali, forzandoli ad avere determinate cardinalità.
Dopo aver richiamato i principali risultati riguardanti la misura di Lebesgue, si mostra come sia possibile costruire l’insieme non misurabile di Vitali tramite AC. Si ripercorrono e sviluppano quindi i concetti e i metodi necessari a comprendere la linea dimostrativa del Teorema di Solovay: una volta introdotti nozioni e risultati di base riguardanti la teoria degli insiemi, si definisce l’insieme degli elementi ordinali definibili. Si entra nella trattazione generale della tecnica del forcing. Si definisce la specifica nozione di forcing adottata da Solovay, il Collasso di Levy. Si analizzano i legami tra teoria descrittiva degli insiemi e la misura di Lebesgue. Si delinea la dimostrazione del Teorema di Solovay evidenziando il ruolo giocato dal forcing.
Abstract
L’elaborato nasce dall’interrogativo circa la correlazione tra esistenza di sottoinsiemi dei numeri reali non misurabili secondo Lebesgue e l’Assioma di scelta (AC). Una riposta in tal senso è fornita dal Teorema di Solovay, che, assumendo l’esistenza di un cardinale inaccessibile, individua un modello di ZF e del Principio delle scelte dipendenti, più debole di AC, in cui tutti i sottoinsiemi dei reali sono misurabili.
Elemento cardine della dimostrazione di Solovay è la tecnica del forcing che permette di costruire un’estensione di un modello di una teoria a partire da un filtro generico definito su un ordine parziale. L’estensione ottenuta, presenta delle proprietà che possono essere controllate. Nello specifico, è utile poter intervenire sui cardinali, forzandoli ad avere determinate cardinalità.
Dopo aver richiamato i principali risultati riguardanti la misura di Lebesgue, si mostra come sia possibile costruire l’insieme non misurabile di Vitali tramite AC. Si ripercorrono e sviluppano quindi i concetti e i metodi necessari a comprendere la linea dimostrativa del Teorema di Solovay: una volta introdotti nozioni e risultati di base riguardanti la teoria degli insiemi, si definisce l’insieme degli elementi ordinali definibili. Si entra nella trattazione generale della tecnica del forcing. Si definisce la specifica nozione di forcing adottata da Solovay, il Collasso di Levy. Si analizzano i legami tra teoria descrittiva degli insiemi e la misura di Lebesgue. Si delinea la dimostrazione del Teorema di Solovay evidenziando il ruolo giocato dal forcing.
Tipologia del documento
Tesi di laurea
(Laurea magistrale)
Autore della tesi
Di Florio, Cecilia
Relatore della tesi
Correlatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Indirizzo
Curriculum A: Generale e applicativo
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
assioma di scelta misura Lebesgue teorema Solovay forcing collasso Levy
Data di discussione della Tesi
25 Settembre 2020
URI
Altri metadati
Tipologia del documento
Tesi di laurea
(NON SPECIFICATO)
Autore della tesi
Di Florio, Cecilia
Relatore della tesi
Correlatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Indirizzo
Curriculum A: Generale e applicativo
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
assioma di scelta misura Lebesgue teorema Solovay forcing collasso Levy
Data di discussione della Tesi
25 Settembre 2020
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