Il problema del cerchio di Gauss

Il problema del cerchio di Gauss è uno dei più noti problemi di teoria dei numeri che fornisce una stima del numero di punti interi contenuti in un cerchio. Questo elaborato si pone come obiettivo lo studio, da un punto di vista analitico, di tale risultato a partire dalla prova del Teorema di Dirichlet e del Teorema di Gauss, che forniscono una stima, per n grande, della media aritmetica di due particolari funzioni: la funzione di Dirichlet d(n), che associa ad n il numero dei suoi divisori positivi e r(n), che indica il numero di modi di scrivere n come somma di due quadrati. La ricerca di risultati migliori porta, rispettivamente, al problema dei divisori di Dirichlet e al problema del cerchio di Gauss. Tra questi, soltanto il secondo verrà analizzato dettagliatamente nel resto del lavoro e tramite il Teorema di Hardy-Landau si otterrà la stima ritenuta la più precisa fino ad oggi.