Schemi 0-dimensionali, singolarità e Jacobiano di una curva piana

Nel primo capitolo c’è una breve introduzione alle varietà algebriche e agli schemi affini e proiettivi, che ne richiama le principali definizioni e proprietà ed introduce alcuni degli strumenti utilizzati nel seguito, in particolare: la dimensione di uno schema, la decomposizione primaria minimale di un ideale, la funzione di Hilbert ed il polinomio di Hilbert associati ad un ideale omogeneo. Nel secondo capitolo si comincia a parlare delle curve algebriche piane affini e proiettive. Si definiscono poi la molteplicità di una curva C in un punto P e la molteplicità di intersezione di due curve affini. Si fornisce una dimostrazione elementare del fatto che la molteplicità d'intersezione di curve proiettive si può calcolare anche mediante il polinomio di Hilbert. Nel terzo capitolo vengono definiti l’ideale e lo schema Jacobiani di una curva piana sia affine che proiettiva. Si mostra che lo schema Jacobiano è un invariante proiettivo e che lo schema Jacobiano di una curva proiettiva letto in una carta affine è lo schema Jacobiano dell’affinizzata della curva. Successivamente si analizzano diversi esempi di schemi Jacobiani per curve proiettive. In questi esempi si nota che singolarità uguali danno Jacobiani isomorfi: ciò viene spiegato tramite risultati molto generali, che vengono poi utilizzati per analizzare gli schemi Jacobiani di punti multipli ordinari e di tutti i tipi di punti doppi. Nel quarto capitolo si studiano i punti tripli di una curva piana: il caso più complicato è naturalmente quello di un punto triplo in cui il cono tangente è una retta tripla. Gli strumenti utilizzati sono le serie di Puiseux e il Poligono di Newton-Puiseux, e la tecnica di approssimazione con curve lisce razionali via via più osculanti.