The Galerkin method for vibrational problem on stepped structures

Molti fenomeni fisici studiati in ingegneria sono modellati attraverso equazioni differenziali. In generale il problema ottenuto difficilmente trova soluzione analitica in forma chiusa. Ecco perché si è iniziato a cercare approcci numerici approssimati per risolvere le equazioni differenziali. Gli approcci più diffusi sono: il metodo degli elementi finiti, il metodo delle differenze finite e il metodo dei residui pesati. Quest'ultimo, in particolare, è una famiglia di metodi. Un membro di tale gruppo è l'argomento principale di questa tesi, ovvero il metodo Galerkin. Il metodo di Galerkin è stato proposto nel 1915. Molti articoli sono dedicati alla sua applicazione su strutture elastiche e in letteratura è anche possibile trovare diversi studi che riportano l'applicazione del metodo di Galerkin su strutture a gradini. In questi lavori la procedura di Galerkin viene applicata nella forma naïve. In questa tesi ci occupiamo del problema vibrazionale di strutture a gradini fornendo due versioni del metodo Galerkin. La prima, naïve, consiste nell'integrazione lungo ogni gradino, dove la rigidezza e la massa rimangono costanti. La seconda versione, denominata rigorous, consiste nel rappresentare la rigidezza e la massa come funzioni generalizzate. Questa implementazione utilizza la funzione di Heaviside, nonché il delta di Dirac e la sua derivata. Per verificare la solidità del metodo studiamo diversi elementi strutturali: bielle, travi e piastre in diverse condizioni di vincolo. Emerge che l’implementazione rigorous porta a termini aggiuntivi che non compaiono nell’implementazione naïve. Entrambe le versioni del metodo di Galerkin sono confrontate con la soluzione esatta. Il risultato ottenuto è che, contrariamente alla versione naïve, l'implementazione rigorous tende alla soluzione analitica. Questo lavoro dimostra che dobbiamo prestare attenzione quando implementiamo il metodo Galerkin per le strutture a gradini perché solo l’implementazione rigorous converge.