Soluzione di Schwarzschild e limite di Buchdahl

Nella presente tesi, al primo capitolo, vengono espressi i più importanti principi relativistici, da quello galileiano a quelli costituenti la base della Relatività di Einstein. Si parla poi delle equazioni di campo e quali caratteristiche debbano avere giustificando qualitativamente la loro forma. Il secondo capitolo introduce il problema di trovare soluzioni per sorgenti a simmetria sferica statiche nel vuoto. Si parte con una descrizione del problema in cui viene esposta l'idea di sfruttare le simmetrie del sistema per rendere la metrica diagonale. Si espone poi, brevemente, il teorema di Birkhoff per mostrare la staticità della soluzione trovata. Si chiude il secondo capitolo con la definizione e le proprietà del raggio di Schwarzschild introducendo le coordinate di Kruskal-Szekeres che permettono di migliorare l'andamento delle componenti della metrica in prossimità di tale superficie. Nel terzo capitolo si passa alla trattazione dell'estensione della soluzione di Schwarzschild all'interno della sorgente, che verrà considerata come un fluido perfetto. Studiando le equazioni di Einstein si ricaverà l'equazione di Tolman-Oppenheimer-Volkoff (T.O.V.), sostituendola ad una delle equazioni di campo, nello studio del modello a densità costante, troveremo la soluzione di Schwarzschild all'interno del fluido perfetto. Si continua poi evidenziando l'esistenza di una massa critica per cui la pressione diverge a r=0. Tale argomentazione viene poi ampliata portando uno studio di un modello a densità decrescente. Dopo una serie di disuguaglianze è ricavato un limite non superabile per l'esistenza di una soluzione di Schwarzschild interna. Considerando anche la non positività della traccia del tensore energia-impulso, il limite viene ulteriormente raffinato. In questo modo vengono trovati i limiti di Buchdah. La tesi poi vuole fare un cenno, dopo una breve spiegazione delle possibili evoluzioni stellari, al fenomeno del collasso gravitazionale.