L'equazione del calore

Questa tesi si propone di presentare i principali risultati riguardanti l'equazione del calore. In primo luogo si introduce l'equazione di diffusione, enfatizzando tra le principali proprietà delle soluzioni il principio di sovrapposizione e l'invarianza rispetto alle dilatazioni paraboliche. Queste proprietà verranno utilizzate per costruire la soluzione classica del problema di Cauchy-Dirichlet e la soluzione fondamentale a partire dall'equazione del calore in forma omogenea. Segue un approfondimento sulla legge fondamentale di conduzione del calore, da cui si ricava che l'equazione di diffusione rappresenta un modello matematico per descrivere l'evoluzione nel tempo della temperatura di un corpo rigido. La trattazione prosegue focalizzandosi sullo studio e risoluzione, in senso classico, del problema di Cauchy-Dirichlet per la sbarra omogenea con dato iniziale C^1, sfruttando, in particolare, l'analisi alla base degli sviluppi in serie di Fourier. Successivamente, vengono riportati i risultati generali ottenuti in dimensione n>=1. Tra questi, viene dedotta l'unicità della soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet, tramite il principio di massimo debole, e per problemi misti, tramite il principio di Hopf. Infine, si affronta il problema di Cauchy omogeneo globale con dato iniziale continuo e si dimostrano per la soluzione classica: l'esistenza, costruendo la soluzione fondamentale, e l'unicità, introducendo una stima di crescita esponenziale.