Modelli a volatilità locale-stocastica

La tesi è incentrata su alcuni particolari modelli matematici per dare un prezzo ai contratti derivati. Si inizia con il lavoro di Fisher Black e Myron Scholes, pilastro per la matematica finanziaria che studia il prezzo di strumenti finanziari al variare del tempo. Il loro modello è uno dei modelli più conosciuti e utilizzati in finanza che si basa sulla stima del prezzo delle opzioni Call e Put. In questo modello il coefficiente di diffusione è costante e perciò induce a vari problemi tra cui: l'effetto smile. Ovvero la volatilità risulta essere l'unico parametro del modello che non è osservabile dal mercato, dato che usando diversi strike e scadenze otteniamo delle volatilità implicite distinte. Negli ultimi anni sono stati proposti svariati modelli per risolvere tali criticità. Perciò nel terzo capitolo si approfondisce un modello a volatilità locale: modello di Dupire. Per questo modello si formulerà l'equazione di Fokker-Planck per la densità del processo del sottostante. Ma il modello ha la criticità di una mancata robustezza della funzione volatilità che al variare di piccole perturbazioni dei dati di mercato tende a variare molto. Nel quarto capitolo si introducono i modelli a volatilità stocastica che rispecchiano in maggior modo il mondo finanziario dato che la volatilità è essa stessa un processo stocastico e descriveremo il modello di Heston. Anche se i modelli a volatilità stocastica permettono di risolvere molti problemi, non risultano sufficientemente capaci di prezzare in maniera esatta delle opzioni diverse dall'opzioni plain vanilla. Sarà posta grande attenzione al Lemma di Gyöngy che mette in relazione i modelli a volatilità locale con quelli a volatilità stocastica. Recentemente sono stati presentati i modelli a volatilità locale-stocastica, che combinano le proprietà vantaggiose dei modelli LV e SV. Principalmente nella tesi si studia il modello SLV di Heston-Dupire con la sua rispettiva leverage function, che assume un ruolo fondamentale.