Soluzioni deboli di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico

L'obiettivo di questo elaborato è quello di presentare tecniche risolutive per le equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico. Nel primo capitolo di questa tesi, dopo aver enunciato alcuni risultati preliminari, definiamo le soluzioni classiche e deboli di equazioni differenziale alle derivate parziali di tipo ellittico. Segue il teorema di Lax-Milgram per forme bilineari con il quale, grazie alle stime energetiche, dimostriamo l'esistenza e l'unicità delle soluzioni deboli di questo tipo di PDE. Il secondo capitolo si articola nella dimostrazione di tre importanti teoremi: il primo di essi garantisce l'esistenza e l'unicità di soluzioni deboli per un problema al bordo. Il secondo teorema sfrutta la teoria di Fredholm sugli operatori compatti per mostrare la relazione che lega la risolvibilità di un problema con quella del problema omogeneo e, infine, con il terzo teorema arricchiamo le conoscenze sulle soluzioni deboli sfruttando risultati riguardanti lo spettro degli operatori compatti. Nel terzo capitolo, dimostriamo due teoremi che studiano il problema della regolarità delle soluzioni deboli.