Generatori di gruppi

Lo scopo di questo elaborato è quello di studiare gli insiemi di generatori di un gruppo G. Nel capitolo iniziale sono enunciate le prime definizioni ed è analizzata l'azione di un gruppo su un insieme. Nel secondo capitolo ci si sofferma nello studio di insiemi di generatori del gruppo simmetrico S_n e, utilizzando risultati della teoria dei grafi, si dimostra che un insieme minimale di generatori di S_n è costituito da n-1 trasposizioni. Nel terzo capitolo, attraverso l'algoritmo di Schreier-Sims, è illustrato come calcolare una base e un insieme forte di generatori di un gruppo di permutazioni. Inoltre è descritto l'algoritmo del Filtro di Jerrum, che consente di dimostrare che ogni sottogruppo di S_n può essere generato da al piu n-1 elementi. Infine, l'ultimo capitolo è dedicato allo studio dei sistemi di generatori di p-gruppi. In questo ambito, il principale risultato è costituito dal Teorema della Base di Burnside che permette di mostrare che due insiemi minimali di generatori di un p-gruppo hanno lo stesso numero di elementi.