Generalizing the Lieb-Shultz-Mattis method for the Kitaev chain

In questo lavoro di tesi si vogliono indagare alcune proprietà di sistemi ferromagnetici monodimensionali con interazione tra primi vicini, e in particolare si vuole provare a fare luce sulla possibile presenza di fermioni di Majorana non accoppiati localizzati ai limiti del sistema. A partire dal modello di Ising, studiamo diversi metodi per risolvere analiticamente le catene di spin e ne valutiamo i diagrammi di fase. Tra i differenti metodi, quello elaborato da Lieb, Schultz and Mattis per Hamiltoniane quadratiche che descrivono fermioni senza spin, non presenta dipendenza esplicita dalle condizioni al contorno permettendoci di valutare la presenza di stati di bordo, rappresentati da operatori di Majorana. Al fine di generalizzare questo metodo per Hamiltoniane complesse si tenta di riprodurne il programma sotto la più larga ipotesi che la matrice di hopping sia complessa ed hermiteana. Tramite il software di analisi Wolfram Mathematica, infine, simuliamo i sistemi di equazioni in esame per diagonalizzare numericamente il sistema e studiare qualitativamente il rapporto tra le varie fasi e l’esistenza di zero modes.