Quiver e loro rappresentazioni: il Teorema di Gabriel

Un quiver è costituito da un insieme di vertici e un insieme di frecce fra di essi.Verrà introdotta la nozione di rappresentazione per un quiver che abbia un numero finito di vertici e frecce. La categoria delle rappresentazioni e loro morfismi è equivalente a quella degli A-moduli destri dove A è l'algebra dei cammini del quiver, ovvero l' algebra che ha come base tutti i cammini ottenibili percorrendo le frecce e come prodotto quello indotto dalla composizione di cammini. Dal punto di vista della teoria delle rappresentazioni lo studio delle algebre finito dimensionali si riduce allo studio di quozienti dell'algebra dei cammini. Lo scopo di questa tesi è arrivare a una classificazione dei quiver che hanno solamente un numero finito di rappresentazioni indecomponibili (ovvero che non si possono scrivere come somma diretta di altre rappresentazioni non banali) a meno di isomorfismo. Il risultato è abbastanza recente ed è stato provato da Gabriel nel 1972. Vi è un numero finito di classi di isomorfismo di rappresentazioni solamente nei casi in cui il grafo associato al quiver è un particolare diagramma di Dynkin. Questo è sorprendente poiché questi diagrammi sono in corrispondenza biunivoca con le algebre di Lie semisemplici su un campo algebricamente chiuso.