Ideali nell'anello degli interi algebrici

L'obiettivo principale della Teoria dei Numeri è quello di studiare l'anello degli interi in relazione al campo dei razionali, una struttura ricca di proprietà e di risultati ben noti. Il nostro scopo è quello di definire un anello più generale da sostituire agli interi quando al posto dei razionali viene considerata una loro generica estensione algebrica K: tale anello, denotato con OK, prende il nome di anello degli interi algebrici. Gli strumenti che utilizzeremo sono quelli propri dell'Algebra Commutativa [1] e della Teoria dei Numeri Algebrica [2]. Fondamentale sarà, ad esempio, la descrizione della struttura dei domini di Dedekind (di cui Z e OK sono appunto esempi prìncipi): essi hanno la proprietà di essere noetheriani, integralmente chiusi e tali che ogni ideale primo non nullo sia anche massimale. Uno dei principali risultati sarà poi la generalizzazione del teorema fondamentale dell'aritmetica; poiché vedremo che in generale OK non è a fattorizzazione unica, introdurremo un sistema di operazioni sugli ideali di un anello e otterremo un teorema di fattorizzazione unica in ideali primi. Infine, lo studio della famiglia degli ideali di OK porterà all'introduzione della nozione di gruppo delle classi di ideali, la cui struttura ci consentirà di descrivere proprietà fondamentali di tale anello, tra cui l'essere o meno un dominio a ideali principali.