Particle methods in option pricing

Lo scopo di questa tesi è la calibrazione del modello di volatilità locale-stocastico (SLV) usando il metodo delle particelle. Il modello SLV riproduce il prezzo di un asset finanziario descritto da un processo stocastico. Il coefficiente di diffusione o volatilità del processo è costituito da una parte stocastica, la varianza, e da una parte locale chiamata funzione di leva che dipende dal processo stesso e che dà origine ad un'equazione differenziale alle derivate parziali (PDE) non lineare. La funzione di leva deve essere calibrata alla tipica curva che appare nella volatilità implicita dei dati di mercato, il volatility-smile. Per fa ciò si utilizza un metodo computazionale preso dalla fisica: il metodo delle particelle. Esso consiste nell'approssimare la distribuzione di probabilità del processo con una distribuzione empirica costituita da N particelle. Le N particelle consistono in N variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite che seguono ciascuna l'equazione differenziale stocastica del prezzo con N moti Browniani indipendenti. La funzione di leva dipenderà così da una misura di probabilità casuale e la PDE non-lineare si ridurrà ad una PDE lineare con N gradi di libertà. Il risultato finale è una funzione di leva determinata dall'interazione tra tutte le particelle. La simulazione al computer viene eseguita tramite la tecnica di implementazione in parallelo che accelera i calcoli sfruttando l'architettura grafica della GPU.