I numeri reali: dalle grandezze incommensurabili all'aritmetizzazione dell'Analisi

Scopo della presente tesi è quello di descrivere i momenti fondamentali che hanno caratterizzato lo sviluppo del concetto di numero reale. A partire dalla scoperta delle grandezze incommensurabili, e passando attraverso la risoluzione di tale "trauma" grazie alla teoria delle proporzioni sviluppata da Eudosso di Cnido nella prima metà del secolo IV a. C. - pervenutaci attraverso il Libro V degli Elementi di Euclide - si arriverà alla data simbolica del 1872, anno a cui risalgono le fondamentali pubblicazioni di Cantor e Dedekind, che daranno una sistemazione teorica definitiva al campo dei numeri reali. Verranno presentate in dettaglio le rispettive costruzioni, che saranno sviluppate utilizzando notazioni e concetti moderni, tenendo però conto degli articoli originali, al fine di evidenziare le idee presenti in essi, soprattutto in considerazione del fatto che esse fossero già contenute, in nuce, nella trattazione euclidea. Infine, verrà dimostrata l'equivalenza del modello di Cantor e di quello di Dedekind, e più in generale l'unicità, a meno di isomorfismi, del campo dei numeri reali, conseguenza, com'è noto, di un importante teorema dovuto a Hilbert. Inoltre, verrà presentata la definizione assiomatica storica data da Hilbert, che definisce i numeri reali come costituenti un campo ordinato archimedeo che goda del cosiddetto "Axiom der Vollständigkeit", e verrà dimostrata l'equivalenza di tale nozione con quelle che emergono dai lavori di Cantor e Dedekind.