Supervarietà algebriche complesse: teoria e applicazioni

Cuoghi, Leonardo (2016) Supervarietà algebriche complesse: teoria e applicazioni. [Laurea magistrale], Università di Bologna, Corso di Studio in Matematica [LM-DM270]
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Abstract

L’obiettivo di questa tesi è quello di definire e analizzare le varie tipologie di supervarietà su R e su C, dando spazio alla discussione approfondita di un esempio molto importante, la supervarietà grassmanniana Gr^ch. Nel capitolo 1 proporremo un ripasso delle nozioni di algebra, geometria e topologia. Per poter arrivare successivamente a parlare di supervarietà, introdurremo nel capitolo 2 i concetti di base di superalgebra lineare, quali le definizioni di superspazio vettoriale, superalgebra, supermodulo e matrice a valori in un superspazio, e le loro proprietà fondamentali. Dedicheremo poi il capitolo 3 all’analisi della varietà grassmanniana ordinaria G(2,4) dei sottospazi 2-dimensionali di C^4, mostrando come questa assuma la struttura di varietà algebrica analitica, e anche di varietà proiettiva: identificheremo infatti G(2,4) con una sottovarietà algebrica dello spazio proiettivo P^5(C), detta quadrica di Klein, tramite la cosiddetta immersione di Plücker. Nel capitolo 4 tratteremo la teoria delle supervarietà. Parleremo di fasci di algebre e superalgebre, strumenti molto utili per trattare concettualmente le varietà e le supervarietà, azioni di supergruppi e superspazi omogenei. Utilizzeremo anche il linguaggio del funtore dei punti, per analizzare gli oggetti del nostro studio dal punto di vista della teoria delle categorie. Svilupperemo poi dettagliatamente il caso della supervarietà grassmanniana Gr^ch, l’estensione supergeometrica della varietà G(2; 4). Vedremo Gr^ch come supervarietà analitica e come superspazio omogeneo, studieremo il suo funtore dei punti e mostreremo come, attraverso la super immersione di Plücker, questa sia isomorfa ad una supervarietà proiettiva dentro al superspazio P^6|4, detta super quadrica di Klein. Infine nel capitolo 5 vedremo come lo spaziotempo di Minkowski, oggetto molto importante nella teoria fisica della relatività, possa essere identificato con la grande cella U_12, un particolare aperto di G(2,4).

Abstract
Tipologia del documento
Tesi di laurea (Laurea magistrale)
Autore della tesi
Cuoghi, Leonardo
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Indirizzo
Curriculum A: Generale e applicativo
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
supergeometria supervarietà superspazio grassmanniana quadrica di Klein spazio di Minkowski
Data di discussione della Tesi
16 Dicembre 2016
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